MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR (2)

Post saya kali ini akan membahas bagaimana menyederhanakan bentuk [pmath]a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}[/pmath] atau [pmath]a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}[/pmath].

 

Untuk menyederhakan bentuk-bentuk tersebut, kita menggunakan teknik perkalian dengan bentuk sekawan. Sekawan dari (√b + √c) adalah (√b – √c). Sekawan dari (√b – √c) adalah (√b + √c).

 

Untuk menyederhanakan bentuk [pmath]a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}[/pmath], kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b + √c), yaitu (√b – √c). Jadi,

[pmath]a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~.~ {sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}[/pmath]

[pmath]a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~-~ sqrt{c})}/{(sqrt{b})^2 ~-~ (sqrt{c})^2}[/pmath]

[pmath]a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~-~ sqrt{c})}/{b ~-~ c}[/pmath]

 

Contoh 1

Sederhanakan bentuk [pmath]3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}[/pmath].

 

Jawab:

Sekawan dari (√7 + √6) adalah (√7 – √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan [pmath]{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}[/pmath].

[pmath]3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ 3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~.~ {sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~-~ sqrt{6})}/{(sqrt{7})^2 ~-~ (sqrt{6})^2}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~-~ sqrt{6})}/{7 ~-~ 6}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ 3 sqrt{7} ~-~ 3 sqrt{6}[/pmath]

 

Contoh 2

Sederhanakan bentuk [pmath]{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}}[/pmath]

 

Jawab:

Sekawan dari (√5 + √2) adalah (√5 – √2). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan [pmath]{sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}/{sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}[/pmath].

[pmath]{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ {sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~.~ {sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}/{sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}[/pmath]

[pmath]{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ {{sqrt{5}}(sqrt{5} ~-~ sqrt{2})}/{(sqrt{5})^2 ~-~ (sqrt{2})^2}[/pmath]

[pmath]{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ 5/3 ~-~ 1/3 sqrt{10}[/pmath]

 

Untuk menyederhanakan bentuk [pmath]a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}[/pmath], kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b – √c), yaitu (√b + √c). Jadi,

[pmath]a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~.~ {sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}[/pmath]

[pmath]a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~+~ sqrt{c})}/{(sqrt{b})^2 ~-~ (sqrt{c})^2}[/pmath]

[pmath]a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~+~ sqrt{c})}/{b ~-~ c}[/pmath]

 

Contoh 3

Sederhanakan bentuk [pmath]3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}[/pmath].

 

Jawab:

Sekawan dari (√7 – √6) adalah (√7 + √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan [pmath]{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}[/pmath].

[pmath]3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ 3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~.~ {sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~+~ sqrt{6})}/{(sqrt{7})^2 ~-~ (sqrt{6})^2}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~+~ sqrt{6})}/{7 ~-~ 6}[/pmath]

[pmath]3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ 3 sqrt{7} ~+~ 3 sqrt{6}[/pmath]

 

Contoh 4

Sederhanakanlah bentuk [pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3}[/pmath]

 

Jawab:

Sekawan dari (2√3 – 3) adalah (2√3 + 3). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan [pmath]{2 sqrt{3} ~+~ 3}/{2 sqrt{3} ~+~ 3}[/pmath].

[pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ 3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~.~ {2 sqrt{3} ~+~ 3}/{2 sqrt{3} ~+~ 3}[/pmath]

[pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/{(2 sqrt{3})^2 ~-~ 3^2}[/pmath]

[pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/{12 ~-~ 9}[/pmath]

[pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/3[/pmath]

[pmath]3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ 2 sqrt{3} ~+~ 3[/pmath]

 

Dari uraian dan contoh-contoh di atas, tampak bahwa dalam penyederhanaan bentuk akar yang melibatkan bentuk (√a + √b) atau (√a – √b), kita menggunakan rumus (√p + √q)(√p – √q) = p – q. Ini memberikan gagasan kepada kita dalam menyederhanakan suatu pecahan yang penyebutnya memiliki bentuk (∛a  + ∛b) atau (∛a – ∛b). Yang demikian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus berikut:

 

Contoh 5

Sederhanakan bentuk [pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}}[/pmath]

 

Jawab:

Substitusikan  a = 7 dan b = 6 pada rumus a – b di atas, diperoleh:

7 – 6 = (∛7 – ∛6)[∛(7²) + ∛(7.6) + ∛(6²)]

1 = (∛7 – ∛6)(∛49 + ∛42 + ∛36)  …………………………………………………………………….. (*)

Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikan pecahan tersebut dengan [pmath]{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}[/pmath].

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ 5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~.~ {root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}[/pmath]

Menggunakan hasil (*), diperoleh:

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ {5(root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36})}/1[/pmath]

Jadi,

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ 5(root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36})[/pmath]

 

(bersambung)

Most visitors also read :

PENGENALAN INDUKSI MATEMATIKA



SUBRUANG VEKTOR



RUANG VEKTOR



MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN (1)