MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR (2)

Pebruari 19th, 2017

Post saya kali ini akan membahas bagaimana menyederhanakan bentuk a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} atau a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} .

Untuk menyederhakan bentuk-bentuk tersebut, kita menggunakan teknik perkalian dengan bentuk sekawan. Sekawan dari (√b + √c) adalah (√b – √c). Sekawan dari (√b – √c) adalah (√b + √c).

Untuk menyederhanakan bentuk a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} , kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b + √c), yaitu (√b – √c). Jadi,

a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~.~ {sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}}

$a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~-~ sqrt{c})}/{(sqrt{b})^2 ~-~ (sqrt{c})^2}$

a/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~-~ sqrt{c})}/{b ~-~ c}

Contoh 1

Sederhanakan bentuk 3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} .

Jawab:

Sekawan dari (√7 + √6) adalah (√7 – √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan {sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} .

3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ 3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~.~ {sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}}

$3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~-~ sqrt{6})}/{(sqrt{7})^2 ~-~ (sqrt{6})^2}$

3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~-~ sqrt{6})}/{7 ~-~ 6}

3/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} ~=~ 3 sqrt{7} ~-~ 3 sqrt{6}

Contoh 2

Sederhanakan bentuk {sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}}

Jawab:

Sekawan dari (√5 + √2) adalah (√5 – √2). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan {sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}/{sqrt{5} ~-~ sqrt{2}} .

{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ {sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~.~ {sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}/{sqrt{5} ~-~ sqrt{2}}

${sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ {{sqrt{5}}(sqrt{5} ~-~ sqrt{2})}/{(sqrt{5})^2 ~-~ (sqrt{2})^2}$

{sqrt{5}}/{sqrt{5} ~+~ sqrt{2}} ~=~ 5/3 ~-~ 1/3 sqrt{10}

Untuk menyederhanakan bentuk a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} , kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b – √c), yaitu (√b + √c). Jadi,

a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~.~ {sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}/{sqrt{b} ~+~ sqrt{c}}

$a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~+~ sqrt{c})}/{(sqrt{b})^2 ~-~ (sqrt{c})^2}$

a/{sqrt{b} ~-~ sqrt{c}} ~=~ {a(sqrt{b} ~+~ sqrt{c})}/{b ~-~ c}

Contoh 3

Sederhanakan bentuk 3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} .

Jawab:

Sekawan dari (√7 – √6) adalah (√7 + √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan {sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}} .

3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ 3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~.~ {sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}/{sqrt{7} ~+~ sqrt{6}}

$3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~+~ sqrt{6})}/{(sqrt{7})^2 ~-~ (sqrt{6})^2}$

3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ {3(sqrt{7} ~+~ sqrt{6})}/{7 ~-~ 6}

3/{sqrt{7} ~-~ sqrt{6}} ~=~ 3 sqrt{7} ~+~ 3 sqrt{6}

Contoh 4

Sederhanakanlah bentuk 3/{2 sqrt{3} ~-~ 3}

Jawab:

Sekawan dari (2√3 – 3) adalah (2√3 + 3). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan {2 sqrt{3} ~+~ 3}/{2 sqrt{3} ~+~ 3} .

3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ 3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~.~ {2 sqrt{3} ~+~ 3}/{2 sqrt{3} ~+~ 3}

$3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/{(2 sqrt{3})^2 ~-~ 3^2}$

3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/{12 ~-~ 9}

3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ {3(2 sqrt{3} ~+~ 3)}/3

3/{2 sqrt{3} ~-~ 3} ~=~ 2 sqrt{3} ~+~ 3

Dari uraian dan contoh-contoh di atas, tampak bahwa dalam penyederhanaan bentuk akar yang melibatkan bentuk (√a + √b) atau (√a – √b), kita menggunakan rumus (√p + √q)(√p – √q) = p – q. Ini memberikan gagasan kepada kita dalam menyederhanakan suatu pecahan yang penyebutnya memiliki bentuk (∛a + ∛b) atau (∛a – ∛b). Yang demikian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus berikut:

Contoh 5

Sederhanakan bentuk 5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}}

Jawab:

Substitusikan a = 7 dan b = 6 pada rumus a – b di atas, diperoleh:

7 – 6 = (∛7 – ∛6)[∛(7²) + ∛(7.6) + ∛(6²)]

1 = (∛7 – ∛6)(∛49 + ∛42 + ∛36) …………………………………………………………………….. (*)

Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikan pecahan tersebut dengan {root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}} .

5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ 5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~.~ {root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}