MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR (2)

Pebruari 19th, 2017

Post saya kali ini akan membahas bagaimana menyederhanakan bentuk \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} atau \frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}}.

 

Untuk menyederhakan bentuk-bentuk tersebut, kita menggunakan teknik perkalian dengan bentuk sekawan. Sekawan dari (√b + √c) adalah (√b – √c). Sekawan dari (√b – √c) adalah (√b + √c).

 

Untuk menyederhanakan bentuk \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}, kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b + √c), yaitu (√b – √c). Jadi,

\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{b} - \sqrt{c}}

\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2}

\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}

 

Contoh 1

Sederhanakan bentuk \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}.

 

Jawab:

Sekawan dari (√7 + √6) adalah (√7 – √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}.

\frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}

\frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2}

\frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{7 - 6}

\frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = 3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{6}

 

Contoh 2

Sederhanakan bentuk \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}

 

Jawab:

Sekawan dari (√5 + √2) adalah (√5 – √2). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}.

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{{\sqrt{5}}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \sqrt{10}

 

Untuk menyederhanakan bentuk \frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}}, kita kalikan bilangan tersebut dengan suatu pecahan yang baik pembilang maupun penyebutnya merupakan sekawan dari (√b – √c), yaitu (√b + √c). Jadi,

\frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} + \sqrt{c}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}

\frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} + \sqrt{c})}{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2}

\frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} + \sqrt{c})}{b - c}

 

Contoh 3

Sederhanakan bentuk \frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}.

 

Jawab:

Sekawan dari (√7 – √6) adalah (√7 + √6). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}.

\frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}

\frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{7} + \sqrt{6})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2}

\frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{7} + \sqrt{6})}{7 - 6}

\frac{3}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = 3 \sqrt{7} + 3 \sqrt{6}

 

Contoh 4

Sederhanakanlah bentuk \frac{3}{2 \sqrt{3} - 3}

 

Jawab:

Sekawan dari (2√3 – 3) adalah (2√3 + 3). Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikanlah pecahan tersebut dengan \frac{2 \sqrt{3} + 3}{2 \sqrt{3} + 3}.

\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} =\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} \cdot \frac{2 \sqrt{3} + 3}{2 \sqrt{3} + 3}

\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} = \frac{3(2 \sqrt{3} + 3)}{(2 \sqrt{3})^2 - 3^2}

\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} = \frac{3(2 \sqrt{3} + 3)}{12 - 9}

\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} = \frac{3(2 \sqrt{3} + 3)}{3}

\frac{3}{2 \sqrt{3} - 3} = 2 \sqrt{3} + 3

 

Dari uraian dan contoh-contoh di atas, tampak bahwa dalam penyederhanaan bentuk akar yang melibatkan bentuk (√a + √b) atau (√a – √b), kita menggunakan rumus (√p + √q)(√p – √q) = p – q. Ini memberikan gagasan kepada kita dalam menyederhanakan suatu pecahan yang penyebutnya memiliki bentuk (∛a  + ∛b) atau (∛a – ∛b). Yang demikian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus berikut:

 

Contoh 5

Sederhanakan bentuk [pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}}[/pmath]

 

Jawab:

Substitusikan  a = 7 dan b = 6 pada rumus a – b di atas, diperoleh:

7 – 6 = (∛7 – ∛6)[∛(72) + ∛(7.6) + ∛(62)]

1 = (∛7 – ∛6)(∛49 + ∛42 + ∛36)  …………………………………………………………………….. (*)

Untuk menyederhanakan pecahan tersebut, kalikan pecahan tersebut dengan [pmath]{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}[/pmath].

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ 5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~.~ {root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}/{root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36}}[/pmath]

Menggunakan hasil (*), diperoleh:

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ {5(root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36})}/1[/pmath]

Jadi,

[pmath]5/{root{3}{7} ~-~ root{3}{6}} ~=~ 5(root{3}{49} ~+~ root{3}{42} ~+~ root{3}{36})[/pmath]

 

(bersambung)



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.