Apakah Anda tahu kapan dadu bersisi enam pertama kali dibuat? Dadu bersisi enam dibuat untuk pertama kalinya sekitar tahun 1600 SM (Sebelum Masehi) dan dadu tersebut digunakan dalam aneka ragam permainan. Dadu pun banyak digunakan dalam aneka ragam permainan judi.
Berbicara mengenai teori peluang memang tidak mungkin lepas dari permainan judi karena memang dalam sejarahnya gagasan-gagasan mengenai kesempatan (chance) banyak timbul dalam permainan judi. Namun demikian, walaupun usia permainan judi sudah ada sejak awal peradaban umat manusia, studi mengenai peluang suatu kejadian baru dimulai di abad ke-15. Empat orang matematikawan Italia yang mempelajari peluang dalam permainan yang bersifat untung-untungan adalah Luca Paccioli (1445-1514), Niccolò Tartaglia (1499-1557), Girolamo Cardano (1501-1576), dan Galileo Galilei (1564-1642). Mereka mencoba membangun dasar matematis bagi teori peluang. Cardano membuat buku petunjuk berjudi, termasuk beberapa cara berbuat curang. Dalam perjalanan waktu, seseorang bernama Chevalier de Méré (1607-1684) memperdebatkan mengenai dua jenis judi terkenal di Perancis. Jenis pertama adalah: “memperoleh paling sedikit satu sisi dengan enam mata dadu dalam empat lemparan dadu secara berturutan”. Jenis kedua: “memperoleh paling sedikit sebuah kejadian di mana muncul dua buah sisi dengan masing-masing enam mata dadu pada 24 lemparan berturutan dua buah dadu/sepasang dadu.” Kasus de Méré ini ditindaklanjuti oleh Blaise Pascal (1623-1662) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Tahun 1655 Christian Huygens (1629-1695) bergabung dengan mereka dan di tahun 1657 Huygens menerbitkan buku pertama mengenai teori peluang, yaitu De Ratiocinates in Aleae Ludo (On Calculations in Games of Chance). Buku inilah yang menandai kelahiran teori peluang.
PELUANG TEORETIS SUATU KEJADIAN
Sewaktu kita masih SD atau di sekolah menengah, kita diajari bahwa apabila sebuah uang logam dilempar, terdapat dua hasil yang mungkin. Karena uang logam tersebut memiliki dua sisi, masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul menghadap ke atas. Jadi peluang kemunculan masing-masing sisi adalah 0,5 atau 50%. Demikian pula dalam hal pelemparan sebuah dadu yang memiliki enam buah sisi. Peluang kemunculan masing-masing sisi adalah 1/6 pada tiap kali pelemparannya. Pada peluang teoretis memang terdapat anggapan/asumsi bahwa: hasil-hasil yang mungkin terjadi pada sebuah eksperimen mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Karena ini suatu anggapan, tentu hal ini bisa menyimpang dari kenyataan. Namun dari sini timbul pertanyaan lain: “Apakah melesetnya peluang teoretis dari kenyataan itu, meleset jauh atau hanya meleset sedikit?” Ini merupakan topik tersendiri yang akan dibahas terpisah. Di bagian ini saya hanya akan membahas peluang klasik/peluang teoretis suatu kejadian.
Pertama, perlu didefinisikan dua istilah penting dalam teori peluang klasik, yaitu ruang sampel(sample space) dan kejadian (event).
Ruang Sampel
Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan statistik. S biasa digunakan untuk melambangkan ruang sampel.
Contoh 1
Pada pelemparan sebuah dadu, ada enam hasil yang mungkin didapat. Keenam hasil tersebut dihimpun dalam ruang sampel:
Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya ruang sampel pada pelemparan sebuah dadu dinyatakan sebagai S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Contoh 2
Pada pelemparan dua buah dadu, ada 36 hasil yang mungkin didapat, yaitu:
Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya ruang sampel pada pelemparan dua dadu dituliskan sebagai S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Contoh 3
Pada pelemparan tiga buah uang logam sekaligus, terdapat delapan kemungkinan hasil. Jika sisi-sisi uang logam itu dinamakan A dan G, ruang sampel eksperimen ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}.
Kejadian
Himpunan bagian mana pun dari ruang sampel merupakan kejadian (event). Dengan kata lain, suatu kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian biasa dilambangkan dengan huruf kapital (mengikuti kaidah pelambangan himpunan, karena memang kejadian merupakan suatu himpunan).
Contoh 4
Pada pelemparan dua buah dadu, munculnya jumlah mata dadu 8 merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini. Apa buktinya? Ruang sampel percobaan ini adalah S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Kemunculan jumlah mata dadu 8 ini dapat dinyatakan sebagai A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Perhatikan bahwa A ⊆ S (A merupakan himpunan bagian dari S). Karena A ⊆ S, sesuai definisi kejadian, A merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini.
Contoh 5
Pada pelemparan tiga buah uang logam sekaligus, munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini. Apa buktinya? Ruang sampel percobaan ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Kemunculan tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas dapat dilambangkan sebagai B = {AGG, GAG, GGA}. Perhatikan bahwa B ⊆ S, sehingga kita simpulkan B merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini.
Menentukan Nilai Peluang Klasik
Misalkan suatu eksperimen memiliki S sebagai ruang sampel dan A ⊆ S. Jika banyaknya anggota A dilambangkan dengan |A| dan banyaknya anggota S dilambangkan dengan |S| maka besarnya peluang terjadinya A, P(A), didefinisikan sebagai:
Contoh 6
Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu 8?
Jawab:
Dari Contoh 2 dan Contoh 4, diperoleh bahwa S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} dan A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Banyaknya anggota S adalah |S| = 36 dan banyaknya anggota A adalah |A| = 5 sehingga besarnya peluang muncul jumlah mata dadu 8 adalah:
Contoh 7
Pada pelemparan 3 buah uang logam, berapakah peluang munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas?
Jawab:
Dari Contoh 3 dan Contoh 5, diperoleh bahwa S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} dan B = {AGG, GAG, GGA}. Banyaknya anggota S adalah |S| = 8 dan banyaknya anggota B adalah |B| = 3 sehingga besarnya peluang munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas adalah:
File presentasi format pdf dapat diperoleh di:(klik di sini)
Penjelasan secara audiovisual dapat diperoleh di: (klik di sini)
Latihan Peluang Teoretis Suatu Kejadian: (klik di sini)
Latihan Peluang Teoretis dan Empiris Suatu Kejadian: (klik di sini)
MENGHITUNG PELUANG TEORETIS SUATU KEJADIAN
Apakah Anda tahu kapan dadu bersisi enam pertama kali dibuat? Dadu bersisi enam dibuat untuk pertama kalinya sekitar tahun 1600 SM (Sebelum Masehi) dan dadu tersebut digunakan dalam aneka ragam permainan. Dadu pun banyak digunakan dalam aneka ragam permainan judi.
Berbicara mengenai teori peluang memang tidak mungkin lepas dari permainan judi karena memang dalam sejarahnya gagasan-gagasan mengenai kesempatan (chance) banyak timbul dalam permainan judi. Namun demikian, walaupun usia permainan judi sudah ada sejak awal peradaban umat manusia, studi mengenai peluang suatu kejadian baru dimulai di abad ke-15. Empat orang matematikawan Italia yang mempelajari peluang dalam permainan yang bersifat untung-untungan adalah Luca Paccioli (1445-1514), Niccolò Tartaglia (1499-1557), Girolamo Cardano (1501-1576), dan Galileo Galilei (1564-1642). Mereka mencoba membangun dasar matematis bagi teori peluang. Cardano membuat buku petunjuk berjudi, termasuk beberapa cara berbuat curang. Dalam perjalanan waktu, seseorang bernama Chevalier de Méré (1607-1684) memperdebatkan mengenai dua jenis judi terkenal di Perancis. Jenis pertama adalah: “memperoleh paling sedikit satu sisi dengan enam mata dadu dalam empat lemparan dadu secara berturutan”. Jenis kedua: “memperoleh paling sedikit sebuah kejadian di mana muncul dua buah sisi dengan masing-masing enam mata dadu pada 24 lemparan berturutan dua buah dadu/sepasang dadu.” Kasus de Méré ini ditindaklanjuti oleh Blaise Pascal (1623-1662) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Tahun 1655 Christian Huygens (1629-1695) bergabung dengan mereka dan di tahun 1657 Huygens menerbitkan buku pertama mengenai teori peluang, yaitu De Ratiocinates in Aleae Ludo (On Calculations in Games of Chance). Buku inilah yang menandai kelahiran teori peluang.
PELUANG TEORETIS SUATU KEJADIAN
Sewaktu kita masih SD atau di sekolah menengah, kita diajari bahwa apabila sebuah uang logam dilempar, terdapat dua hasil yang mungkin. Karena uang logam tersebut memiliki dua sisi, masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul menghadap ke atas. Jadi peluang kemunculan masing-masing sisi adalah 0,5 atau 50%. Demikian pula dalam hal pelemparan sebuah dadu yang memiliki enam buah sisi. Peluang kemunculan masing-masing sisi adalah 1/6 pada tiap kali pelemparannya. Pada peluang teoretis memang terdapat anggapan/asumsi bahwa: hasil-hasil yang mungkin terjadi pada sebuah eksperimen mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Karena ini suatu anggapan, tentu hal ini bisa menyimpang dari kenyataan. Namun dari sini timbul pertanyaan lain: “Apakah melesetnya peluang teoretis dari kenyataan itu, meleset jauh atau hanya meleset sedikit?” Ini merupakan topik tersendiri yang akan dibahas terpisah. Di bagian ini saya hanya akan membahas peluang klasik/peluang teoretis suatu kejadian.
Pertama, perlu didefinisikan dua istilah penting dalam teori peluang klasik, yaitu ruang sampel (sample space) dan kejadian (event).
Ruang Sampel
Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan statistik. S biasa digunakan untuk melambangkan ruang sampel.
Contoh 1
Pada pelemparan sebuah dadu, ada enam hasil yang mungkin didapat. Keenam hasil tersebut dihimpun dalam ruang sampel:
Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya ruang sampel pada pelemparan sebuah dadu dinyatakan sebagai S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Contoh 2
Pada pelemparan dua buah dadu, ada 36 hasil yang mungkin didapat, yaitu:
Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya ruang sampel pada pelemparan dua dadu dituliskan sebagai S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Contoh 3
Pada pelemparan tiga buah uang logam sekaligus, terdapat delapan kemungkinan hasil. Jika sisi-sisi uang logam itu dinamakan A dan G, ruang sampel eksperimen ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}.
Kejadian
Himpunan bagian mana pun dari ruang sampel merupakan kejadian (event). Dengan kata lain, suatu kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian biasa dilambangkan dengan huruf kapital (mengikuti kaidah pelambangan himpunan, karena memang kejadian merupakan suatu himpunan).
Contoh 4
Pada pelemparan dua buah dadu, munculnya jumlah mata dadu 8 merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini. Apa buktinya? Ruang sampel percobaan ini adalah S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Kemunculan jumlah mata dadu 8 ini dapat dinyatakan sebagai A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Perhatikan bahwa A ⊆ S (A merupakan himpunan bagian dari S). Karena A ⊆ S, sesuai definisi kejadian, A merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini.
Contoh 5
Pada pelemparan tiga buah uang logam sekaligus, munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini. Apa buktinya? Ruang sampel percobaan ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Kemunculan tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas dapat dilambangkan sebagai B = {AGG, GAG, GGA}. Perhatikan bahwa B ⊆ S, sehingga kita simpulkan B merupakan suatu kejadian dalam eksperimen ini.
Menentukan Nilai Peluang Klasik
Misalkan suatu eksperimen memiliki S sebagai ruang sampel dan A ⊆ S. Jika banyaknya anggota A dilambangkan dengan |A| dan banyaknya anggota S dilambangkan dengan |S| maka besarnya peluang terjadinya A, P(A), didefinisikan sebagai:
Contoh 6
Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu 8?
Jawab:
Dari Contoh 2 dan Contoh 4, diperoleh bahwa S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} dan A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Banyaknya anggota S adalah |S| = 36 dan banyaknya anggota A adalah |A| = 5 sehingga besarnya peluang muncul jumlah mata dadu 8 adalah:
Contoh 7
Pada pelemparan 3 buah uang logam, berapakah peluang munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas?
Jawab:
Dari Contoh 3 dan Contoh 5, diperoleh bahwa S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} dan B = {AGG, GAG, GGA}. Banyaknya anggota S adalah |S| = 8 dan banyaknya anggota B adalah |B| = 3 sehingga besarnya peluang munculnya tepat dua uang logam dengan sisi G menghadap ke atas adalah:
File presentasi format pdf dapat diperoleh di: (klik di sini)
Penjelasan secara audiovisual dapat diperoleh di: (klik di sini)
Latihan Peluang Teoretis Suatu Kejadian: (klik di sini)
Latihan Peluang Teoretis dan Empiris Suatu Kejadian: (klik di sini)
Materi selanjutnya: Peluang Empiris Suatu Kejadian
Bagikan ini:
Most visitors also read :
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR
JARAK STATISTIKAL
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA