Post saya kali ini mengajarkan bagaimana cara menentukan persamaan kurva hasil suatu transformasi tertentu. Transformasi tersebut dapat merupakan suatu translasi, rotasi, dilatasi, dan sebagainya. Pada prinsipnya teknik yang digunakan sama untuk berbagai jenis transformasi tersebut, yaitu dengan teknik substitusi.
Misalkan karena suatu transformasi T, titik yang berkoordinat (x,y) yang terletak pada kurva dengan persamaan f(x,y) = 0 dipetakan ke titik berkoordinat (x1,y1). Dengan kata lain, T((x,y)) = (x1,y1). Untuk menentukan persamaan kurva hasil transformasi T, kita perlu mencari terlebih dahulu fungsi g dan h sedemikian hingga dihasilkan persamaan x = g(x1,y1) dan y = h(x1,y1). Setelah itu, substitusikan x dan y dari persamaan yang terakhir diperoleh ke dalam f(x,y) = 0 sehingga diperoleh persamaan kurva f(g(x1,y1),h(x1,y1)) = 0. Dengan menghapus indeks 1 pada persamaan tersebut, diperolehlah persamaan kurva hasil transformasi T.
Contoh 1
Diketahui parabola dengan persamaan y = x2. Kurva tersebut dirotasikan 450 [berlawanan dengan arah jarum jam] dengan O sebagai pusat rotasinya. Tentukan persamaan parabola hasil rotasi tersebut. Petunjuk: Rotasi tersebut memetakan titik berkoordinat (x,y) ke titik berkoordinat (x1,y1) dengan: x1 = x cos 450 – y sin 450 dan y1 = x sin 450 + y cos 450
Jawab:
Pada contoh ini, titik berkoordinat (x,y) dipetakan ke (x1,y1), dengan x1 = x cos 450 – y sin 450 dan y1 = x sin 450 + y cos 450. Jadi, [pmath]x_{1} ~=~ {x/2} sqrt{2} ~-~ {y/2} sqrt{2}[/pmath] dan [pmath]y_{1} ~=~ {x/2} sqrt{2} ~+~ {y/2} sqrt{2}[/pmath]. Dengan menggunakan teknik penyelesaian sistem persamaan linier dengan dua anu, diperoleh:
Dengan menghapuskan indeks 1, diperoleh persamaan kurva hasil rotasi tersebut adalah:
[pmath]sqrt{2} x^2 ~+~ 2 sqrt{2} xy ~+~ sqrt{2} y^2 ~+~ 2 x ~-~ 2 y ~=~ 0[/pmath] …………….. (***)
Parabola hasil translasi tersebut digambarkan berikut ini.
Gambar 1
Pada Gambar 1, parabola berwarna biru memiliki persamaan y = x2 (belum mengalami rotasi) sedangkan yang berwarna hijau adalah parabola setelah mengalami rotasi [persamaan (***)].
Contoh 2
Lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 2 satuan digeser searah sumbu x positif sejauh 2 satuan dan searah sumbu y negatif sejauh 4 satuan. Tentukanlah persamaan lingkaran hasil pergeseran-pergeseran tersebut.
Jawab:
Persamaan lingkaran semula adalah x2 + y2 = 22. Dengan pergeseran-pergeseran tersebut, titik (x,y) pada lingkaran akan dipetakan ke titik (x1,y1), dengan x1 = x + 2 dan y1 = y – 4. Dari x1 dan y1 ini, kita peroleh x = x1 – 2 dan y = y1 + 4. Substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan x2 + y2 = 22, diperoleh:
(x1 – 2)2 + (y1 + 4)2 = 22
(x1 – 2)2 + (y1 + 4)2 = 4
Dengan menghapuskan indeks 1 pada persamaan yang terakhir terbentuk, diperoleh persamaan lingkaran hasil pergeseran-pergeseran tersebut adalah (x – 2)2 + (y + 4)2 = 4. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2
Pada Gambar 2, lingkaran berwarna hijau adalah lingkaran semula, sedangkan yang berwarna merah adalah lingkaran setelah mengalami pergeseran-pergeseran tersebut.
MENENTUKAN PERSAMAAN KURVA HASIL TRANSFORMASI
Post saya kali ini mengajarkan bagaimana cara menentukan persamaan kurva hasil suatu transformasi tertentu. Transformasi tersebut dapat merupakan suatu translasi, rotasi, dilatasi, dan sebagainya. Pada prinsipnya teknik yang digunakan sama untuk berbagai jenis transformasi tersebut, yaitu dengan teknik substitusi.
Misalkan karena suatu transformasi T, titik yang berkoordinat (x,y) yang terletak pada kurva dengan persamaan f(x,y) = 0 dipetakan ke titik berkoordinat (x1,y1). Dengan kata lain, T((x,y)) = (x1,y1). Untuk menentukan persamaan kurva hasil transformasi T, kita perlu mencari terlebih dahulu fungsi g dan h sedemikian hingga dihasilkan persamaan x = g(x1,y1) dan y = h(x1,y1). Setelah itu, substitusikan x dan y dari persamaan yang terakhir diperoleh ke dalam f(x,y) = 0 sehingga diperoleh persamaan kurva f(g(x1,y1),h(x1,y1)) = 0. Dengan menghapus indeks 1 pada persamaan tersebut, diperolehlah persamaan kurva hasil transformasi T.
Contoh 1
Diketahui parabola dengan persamaan y = x2. Kurva tersebut dirotasikan 450 [berlawanan dengan arah jarum jam] dengan O sebagai pusat rotasinya. Tentukan persamaan parabola hasil rotasi tersebut. Petunjuk: Rotasi tersebut memetakan titik berkoordinat (x,y) ke titik berkoordinat (x1,y1) dengan: x1 = x cos 450 – y sin 450 dan y1 = x sin 450 + y cos 450
Jawab:
Pada contoh ini, titik berkoordinat (x,y) dipetakan ke (x1,y1), dengan x1 = x cos 450 – y sin 450 dan y1 = x sin 450 + y cos 450. Jadi, [pmath]x_{1} ~=~ {x/2} sqrt{2} ~-~ {y/2} sqrt{2}[/pmath] dan [pmath]y_{1} ~=~ {x/2} sqrt{2} ~+~ {y/2} sqrt{2}[/pmath]. Dengan menggunakan teknik penyelesaian sistem persamaan linier dengan dua anu, diperoleh:
[pmath]x ~=~ {x_{1}}/2 sqrt{2} ~+~ {y_{1}}/2 sqrt{2}[/pmath] ……………………………….. (*)
[pmath]y ~=~ – ~ {x_{1}}/2 sqrt{2} ~+~ {y_{1}}/2 sqrt{2}[/pmath] ……………………………… (**)
Substitusikan x dan y pada (*) dan (**) ke dalam persamaan kurva y = x2, diperoleh:
[pmath]- ~ {x_{1}}/2 sqrt{2} ~+~ {y_{1}}/2 sqrt{2} ~=~ ({x_{1}}/2 sqrt{2} ~+~ {y_{1}}/2 sqrt{2})^2[/pmath]
Dengan menyederhanakan, pada akhirnya diperoleh:
[pmath]sqrt{2} {x_{1}}^2 ~+~ 2 sqrt{2} x_{1} y_{1} ~+~ sqrt{2} {y_{1}}^2 ~+~ 2 x_{1} ~-~ 2 y_{1} ~=~ 0[/pmath]
Dengan menghapuskan indeks 1, diperoleh persamaan kurva hasil rotasi tersebut adalah:
[pmath]sqrt{2} x^2 ~+~ 2 sqrt{2} xy ~+~ sqrt{2} y^2 ~+~ 2 x ~-~ 2 y ~=~ 0[/pmath] …………….. (***)
Parabola hasil translasi tersebut digambarkan berikut ini.
Gambar 1
Pada Gambar 1, parabola berwarna biru memiliki persamaan y = x2 (belum mengalami rotasi) sedangkan yang berwarna hijau adalah parabola setelah mengalami rotasi [persamaan (***)].
Contoh 2
Lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 2 satuan digeser searah sumbu x positif sejauh 2 satuan dan searah sumbu y negatif sejauh 4 satuan. Tentukanlah persamaan lingkaran hasil pergeseran-pergeseran tersebut.
Jawab:
Persamaan lingkaran semula adalah x2 + y2 = 22. Dengan pergeseran-pergeseran tersebut, titik (x,y) pada lingkaran akan dipetakan ke titik (x1,y1), dengan x1 = x + 2 dan y1 = y – 4. Dari x1 dan y1 ini, kita peroleh x = x1 – 2 dan y = y1 + 4. Substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan x2 + y2 = 22, diperoleh:
(x1 – 2)2 + (y1 + 4)2 = 22
(x1 – 2)2 + (y1 + 4)2 = 4
Dengan menghapuskan indeks 1 pada persamaan yang terakhir terbentuk, diperoleh persamaan lingkaran hasil pergeseran-pergeseran tersebut adalah (x – 2)2 + (y + 4)2 = 4. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2
Pada Gambar 2, lingkaran berwarna hijau adalah lingkaran semula, sedangkan yang berwarna merah adalah lingkaran setelah mengalami pergeseran-pergeseran tersebut.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA