MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

Januari 29th, 2017

Jika diketahui suatu kurva dengan persamaan y = f(x), bagaimana menentukan persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik K(a,b) dengan b = f(a)? Inilah yang akan dibahas pada post kali ini.

Gambar 1

Gambar 1

Pada Gambar 1, titik K(a,b) terletak pada kurva yang persamaannya diketahui, yaitu y = f(x). Yang dipertanyakan adalah persamaan garis singgung pada kurva di K. Dalam hal seperti ini, gunakan rumus persamaan garis singgung:

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dengan persamaan y = x3 – 2x2 di titik K(1,-1).

 

Jawab:

Pada contoh ini, f(x) = x3 – 2x2 sehingga f’(x) = 3x2 – 4x. Substitusikan x = 1 (yaitu absis dari K) ke dalam f’(x) tersebut, diperoleh f’(1) = 3.12 – 4.1 = -1. Dengan mensubstitusikan a = 1, b = -1, dan f’(1) = -1 ke dalam rumus persamaan garis singgung di atas, diperoleh:

y – (-1) = -1.(x – 1)

y + 1 = -x + 1

y = -x

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva tersebut di K adalah y = -x. (Lihat Gambar 2.)

Gambar 2

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dengan persamaan y = 3x5 – 5x3 di titik K(-1,2).

 

Jawab:

Pada contoh ini, f(x) = 3x5 – 5x3 sehingga f’(x) = 15x4 – 15x2. Substitusikan x = -1 (yaitu absis dari K) ke dalam f’(x) tersebut, diperoleh f’(-1) = 15(-1)4 – 15(-1)2 = 0. Dengan mensubstitusikan a = -1, b = 2, dan f’(-1) = 0 ke dalam rumus persamaan garis singgung di atas, diperoleh:

y – 2 = 0(x – (-1))

y – 2 = 0

y = 2

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva tersebut di K adalah y = 2. (Lihat Gambar 3.)

Gambar 3

Contoh 3

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dengan persamaan y = 2√x di titik yang berabsis 4.

 

Jawab:

Pada contoh ini, f(x) = 2√x = 2x½ sehingga f’(x) = x½ atau f prime (x) ~=~ 1/{sqrt{x}}. Substitusikan x = 4 ke dalam f’(x) tersebut, diperoleh f’(4) = 4½ = ½. Untuk menentukan ordinat dari titik yang berabsis 4 ini, substitusikan x = 4 ke dalam y = 2√x, diperoleh y = 4. Jadi, yang ditanyakan soal ini adalah persamaan garis singgung pada kurva di titik (4,4). Dengan mensubstitusikan a = 4, b = 4, dan f’(4) = ½ ke dalam rumus persamaan garis singgung di atas, diperoleh:

y – 4 = ½ (x – 4)

y – 4 = ½x – 2

y = ½x + 2

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik yang berabsis 4 adalah y = ½x + 2. (Lihat Gambar 4.)

Gambar 4

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dengan persamaan y = 4 sin x di titik yang berabsis π/3.

 

Jawab:

Pada contoh ini, f(x) = 4 sin x sehingga f’(x) = 4 cos x atau. Substitusikan x = π/3 ke dalam f’(x) tersebut, diperoleh f’(π/3) = 4 cos π/3 = 4.½ = 2. Untuk menentukan ordinat dari titik yang berabsis π/3  ini, substitusikan x = π/3 ke dalam y = 4 sin x, diperoleh y = 4.½√3 = 2√3.  Jadi, yang ditanyakan soal ini adalah persamaan garis singgung pada kurva di titik (π/3, 2√3).

Dengan mensubstitusikan a = π/3, b = 2√3, dan f’(π/3) = 2 ke dalam rumus persamaan garis singgung di atas, diperoleh:

y – 2√3 = 2(x – π/3)

y – 2√3 = 2x – 2π/3

y = 2x + (2√3 – 2π/3)

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik yang berabsis π/3 adalah y = 2x + (2√3 – 2π/3). (Lihat Gambar 5.)

Gambar 5

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *