MENENTUKAN NILAI FUNGSI POLINOM DENGAN DALIL SISA

Desember 12th, 2016

Barangkali adik-adik yang bersekolah di tingkat SMA atau SMP pernah diminta untuk menyelesaikan soal seperti ini: Diketahui f(x) = 2x8 – 5x5 + 27x3 – 14x2 + 25x – 17. Tentukanlah f(3). Bagaimana cara mengerjakan soal seperti ini? Cara yang biasa dilakukan adalah dengan melakukan substitusi x = 3 ke dalam aturan fungsi f(x) tersebut:

f(3) = 2.38 – 5.35 + 27.33 – 14.32 + 25.3 – 17 = 13122 – 1215 + 729 – 126 + 75 – 17 = 12568

 

Bandingkan dengan cara penyelesaian seperti ini:

 

Tabel 1

Pada tabel di atas, jawaban untuk soal tersebut ditandai dengan latar kuning. Tanpa bantuan alat hitung, cara menggunakan tabel di atas pada umumnya lebih mudah untuk dilakukan. Cara ini menggunakan salah satu dalil dalam matematika yang disebut dengan dalil sisa (remainder theorem).

 

Untuk membahas dalil sisa, perlu diuraikan terlebih dahulu pengertian suku banyak (polinom, polynomials).

 

Suku banyak

Misalkan Pn suatu fungsi, yang aturan fungsinya Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an dengan a0, a1, a2, …, an ∊ ℝ, a0 ≠ 0, n ∊ {0, 1, 2, 3, …}. Pn(x) dinamakan suku banyak dengan derajat n. Selanjutnya, a0, a1, a2, …, an disebut koefisien suku banyak. a0, yang merupakan koefisien dari x dengan pangkat tertinggi, dinamakan leading coefficient dan an dinamakan suku konstan (constant term).   Khususnya, jika n = 0 maka Pn(x) = P0(x) = a0. Dalam hal ini suku banyak P0(x) = a0 dinamakan suku banyak konstan.

 

Contoh-contoh suku banyak

P(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 10x – 5 [suku banyak berderajat 4 dengan a0 = 3, a1 = 5, a2 = -4, a3 = 10, a4 = -5]

P(x) = -2x5 – 17x4 + 23x + 13 [suku banyak berderajat 5 dengan a0 = -2, a1 = -17, a2 = a3 = 0, a4 = 23, a5 = 13]

P(x) = 17 – 5x8 [suku banyak berderajat 8 dengan a0 = -5, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = 0, a8 = 17]

P(x) = ½x – 5 [suku banyak berderajat 1 dengan a0 = ½, a1 = -5]

P(x) = 28 [suku banyak konstan dengan a0 = 28]

 

Algoritma Pembagian Suku Banyak

Jika P(x) dan Q(x) masing-masing suku banyak dengan Q(x) ≠ 0 maka terdapat satu dan hanya satu suku banyak H(x) dan S(x) sedemikian hingga P(x) = Q(x).H(x) + S(x) dengan S(x) = 0 atau derajat S(x) < derajat Q(x). H(x) dinamakan hasil bagi dan S(x) sisa pembagian dari pembagian P(x) oleh Q(x).

 

Dalil di atas menyiratkan bahwa pembagian suatu suku banyak dengan suku banyak lain memberikan hasil bagi dan sisa yang tunggal/unik. Ini menyerupai pembagian bilangan bulat oleh bilangan asli.

 

Mari kita ingat kembali pelajaran matematika kita di tingkat Sekolah Dasar. Sewaktu di Sekolah Dasar, kita “diajari” sebagai berikut:

Contoh 1: “23 dibagi 5 menghasilkan 4 dengan sisa 3”, ditulis: 23 = 5.4 + 3           [h = 4, s = 3]

Contoh 2: “76 dibagi 3 menghasilkan 25 dengan sisa 1”, ditulis: 76 = 3.25 + 1       [h = 25, s = 1]

Contoh 3: “-14 dibagi 4 menghasilkan -4 dengan sisa 2”, ditulis: -14 = 4.(-4) + 2   [h = -4, s = 2]

 

Catatan:

h = hasil pembagian, hasil bagi

s = sisa pembagian

 

Pembagian bilangan bulat oleh bilangan asli tersebut merupakan penerapan dari dalil berikut.

 

Algoritma Pembagian Bilangan Bulat

Jika p dan q masing-masing bilangan bulat dan q > 0 maka terdapat h dan s yang tunggal, keduanya bilangan bulat sedemikian hingga p = qh + s dan 0 ≤ s < q. h dinamakan hasil bagi dan s sisa pembagian p oleh q.

 

Pada Contoh 1 s.d. Contoh 3, nilai-nilai p, q, h, dan s dapat dilihat pada tabel berikut.

 

Tabel 2

Perhatikan bahwa pada ketiga contoh tersebut selalu berlaku 0 ≤ s < q sebagaimana telah dinyatakan dalam algoritma pembagian bilangan bulat.

 

Demikian halnya dengan suku banyak, berlaku algoritma pembagian suku banyak yang telah dituliskan di atas.

 

Contoh 1*: x5 – 2x4 + 5x2 + 1 = (x3 + 3)(x2 – 2x) + (2x2 + 6x + 1)

Contoh 2*: -7x6 – 2x3 + 5x – 2 = (x2 – 2x + 5)(-7x4 – 14x3 + 7x2 + 82x + 129) + (-147x – 647)

Contoh 3*: x3 – 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (-16)

Contoh 4*: x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)

 

Contoh 1* s.d. 4* dapat diringkaskan pada tabel berikut.

 

Tabel 3

Seperti yang ditunjukkan Tabel 3, derajat S(x) < derajat Q(x), sebagaimana telah dinyatakan dalam algoritma pembagian suku banyak.

 

Mari kita fokuskan perhatian kita pada Contoh 3* dan Contoh 4*, dan kita misalkan P(x) = x3 – 8. Perhatikan bahwa pembagian P(x) oleh (x + 2) memberikan sisa S(x) = -16 = P(-2). Pembagian P(x) oleh (x – 2) memberikan sisa S(x) = 0 = P(2). Berapakah pembagian P(x) oleh (x – 5)? Dapat ditunjukkan bahwa P(x) = (x – 5)(x2 + 5x + 25) + 117. Pembagian P(x) oleh (x – 5) memberikan sisa 117 = P(5). Berapakah pembagian P(x) oleh (x – 4)? Dapat ditunjukkan bahwa P(x) = (x – 4)(x2 + 4x + 16) + 56. Pembagian P(x) oleh (x – 4) memberikan sisa 56 = P(4) !! Kita selanjutnya dapat menduga bahwa pembagian P(x) oleh (x – a) memberikan sisa P(a). Apakah ini kebetulan? Bukan, ini merupakan penerapan Dalil Sisa sebagai berikut.

 

Dalil Sisa

Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – a), a ∊ ℝ maka sisa pembagian itu adalah P(a).

 

Dalil sisa ini kemudian dapat dipergunakan untuk menentukan nilai P(a) apabila P(x) merupakan suku banyak. Untuk menentukan nilai P(a), kita mencari sisa pembagian P(x) oleh (x – a). Pembagian P(x) oleh (x – a) dapat dipercepat dengan penggunaan tabel sebagaimana telah ditunjukkan Tabel 1.

 

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak P(x) oleh (x – a), lakukan langkah-langkah berikut.

 

Langkah 1

Nyatakan P(x) dalam bentuk:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn-3 + … + an-3x3 + an-2x2 + an-1x + an.

 

Langkah 2

Buat tabel persiapan dalam format sebagai berikut:

Langkah 3

Kalikan a0 dengan a (lihat panah biru), dan tulis hasil kalinya (= a0a) di kolom sebelah kanannya, di bawah a1 (panah oranye).

 

Langkah 4

Jumlahkan bilangan-bilangan yang terletak pada satu kolom, dan tuliskan hasilnya di baris terbawah (Lihat panah merah.)

 

Langkah seterusnya

Dengan pola seperti pada Langkah 3 dan Langkah 4, teruskan pengisian kolom-kolom berikutnya sampai semua kolom terisi penuh. Sisa pembagian, yaitu P(a), ditunjukkan dengan sel berwarna kuning. (Lihat bagan di atas.) Dari baris terbawah tabel tersebut dapat disimpulkan mengenai hasil bagi P(x) oleh Q(x), yaitu H(x). (Lihat baris berlatar abu-abu pada tabel di atas.) Lebih tepatnya, H(x) = a0xn-1 + (a0a + a1)xn-2 + (a0a2 + a1a + a2)xn-3 + … + (a0an-2 +…+an-4a2 +an-3a + an-2)x + (a0an-1 + …+ an-3a2 +an-2a +an-1)

 

Contoh

Diketahui P(x) = 5x4 + 2x3 – 10x + 2

  1. Tentukan P(2) dan P(-2).
  2. Tentukan hasil bagi P(x) oleh x – 2.
  3. Tentukan hasil bagi P(x) oleh x + 2.

 

P(x) dapat dinyatakan sebagai:

P(x) = 5x4 + 2x3 + 0 x2 – 10x + 2

Untuk menentukan P(2) dan hasil bagi P(x) oleh (x – 2), kita buat tabel bantu sebagai berikut.

Dari tabel tersebut, dapat diperoleh nilai P(2) = 78 dan sisa pembagian H(x) = 5x3 + 12x2 + 24x + 38.

Jadi, P(x) dapat dinyatakan sebagai: P(x) = (x – 2)(5x3 + 12x2 + 24x + 38) + 78.

Untuk menentukan P(-2) dan hasil bagi P(x) oleh (x + 2), kita buat tabel bantu sebagai berikut.

Dari tabel tersebut, dapat diperoleh nilai P(-2) = 86 dan sisa pembagian H(x) = 5x3 – 8x2 + 16x – 42.

Jadi, P(x) dapat dinyatakan sebagai: P(x) = (x + 2)( 5x3 – 8x2 + 16x – 42) + 86.

 

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *